线性子空间

当我们掌握了一定的向量基础工具后，就可以深入理解ℝⁿ中的线性子空间概念了。接下来，我们所讨论的内容都围绕ℝⁿ的线性子空间展开，这里的n是任意正整数，我们统一用ℝⁿ来表示这个n维实向量空间。

首先，我们来明确ℝⁿ的含义。从本质上讲，ℝⁿ是一个无限大的向量集合，其中每一个向量都包含n个分量，且每个分量都属于实数集。虽然我们有时会将ℝⁿ直观地看作是一个多维空间，但从抽象角度来说，它就是所有形如(x₁, x₂, …, xₙ)的向量的集合，其中对于每一个i(1≤i≤n)，xᵢ都是实数。

而线性子空间，简单来说，是ℝⁿ的一个子集，我们把这个子集记为V。V可能包含ℝⁿ中的所有向量，也可能只是其中的一部分向量。但并非ℝⁿ的任意子集都能被称为线性子空间，要成为线性子空间， V必须满足以下三个关键条件，这也是线性子空间的核心定义：

线性子空间的定义

一、包含零向量

V中必须包含ℝⁿ中的零向量。例如ℝ²空间内的0向量，

二、标量乘法下封闭

如果向量x在V中，那么对于任意一个实数标量C，向量Cx也必须在V中。即在V中的向量进行标量乘法运算后，得到的结果仍然属于V，不会超出V的范围

即当

那么也要满足

三、加法下封闭

如果向量a和b都在V中，那么它们的和a+b也必须在V中。

即当

那么也要满足

只有当ℝⁿ的子集V同时满足以上三个条件时，V才能被称为ℝⁿ的线性子空间（简称子空间）。这个定义听起来可能比较抽象，接下来我们通过具体的例子来进一步理解子空间的含义，看看哪些集合能成为子空间，哪些不能。

线性子空间的一些例子

例1、只包含零向量的集合是ℝⁿ的线性子空间

假设我们定义集合 V = {0}，也就是说，V 中只有一个元素，即 ℝⁿ中的零向量，这里我们以 ℝ³ 为例

现在我们来验证它是否满足子空间的三个条件：

包含零向量：显然，向量集合V中唯一的元素就是零向量，所以这个条件满足。

标量乘法下封闭：取V中的向量0向量，再任取一个标量C，计算C乘以0向量，而根据向量标量乘法的性质，C乘以0向量还是等于0向量，而0向量在V中，故这个条件也满足。

加法下封闭：将V中的向量0向量与自身相加，即0向量+0向量，根据向量加法的性质，结果仍为0向量，0向量属于V，所以这个条件也满足。

所以，仅包含零向量的集合V= {0向量} 是ℝ³（同样适用于任意ℝⁿ）的线性子空间。这是一个非常简单但重要的子空间，它在后续的向量空间理论中有着特殊的作用。

例2、第一个分量非负的向量集合不是子空间

我们在ℝ²中定义集合S，S包含所有满足第一个分量大于或等于零的向量，

如果以 图例来考察的话，ℝ²是整个直角坐标系，而这个S集合则是覆盖第一象限和第四象限

那我们现在来判断下，S是否为ℝ²的子空间呢？

包含零向量：其第一个分量为0，满足x₁≥0，所以0在S中，该条件满足。

加法下封闭：任取S中的两个向量a 和b其中a₁≥0，b₁≥0。计算它们的和a+b=(a₁+b₁ , a₂+b₂)，由于a₁≥0且b₁≥0，根据实数加法的性质，a₁+b₁≥0，所以a+b仍然在S中，这个条件满足。

标量乘法下是否封闭：取S中的一个向量a（其中a₁>0，比如a₁=1，a₂=0），再取标量C=-1。

计算c・向量a，

此时该向量的第一个分量为-1<0，不在S中。这就说明S在标量乘法下不封闭，不满足子空间的第三个条件。

因此，ℝ²中所有第一个分量非负的向量组成的集合S不是ℝ²的线性子空间。这个例子告诉我们，即使一个集合满足子空间的前两个条件，只要不满足第三个条件，它就不能成为子空间。

例子3、向量的张成空间是子空间

在Rⁿ中任取一组向量v₁,v₂,v₃（这里取三个向量仅为举例，任意数量的向量组都适用），定义集合U为这组向量的张成空间。所谓向量的张成空间，就是由这组向量所有可能的线性组合构成的集合，即U={c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃|c₁,c₂,c₃ ∈ R}。现在我们来验证U是否为Rⁿ的子空间：

包含零向量：取c₁=c₂=c₃=0，则0v₁+0v₂+0v₃=0（零向量），而0（零向量）是这个线性组合的结果，所以0（零向量）在U中，该条件满足。

标量乘法下封闭：任取U中的一个向量x，根据张成空间的定义，x可以表示为x=c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃（其中c₁,c₂,c₃为实数）。任取一个标量a，计算ax，根据向量标量乘法的分配律，ax=a(c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃)=(ac₁)v₁+(ac₂)v₂+(ac₃)v₃。由于ac₁,ac₂,ac₃仍然是实数，所以ax是v₁,v₂,v₃的线性组合，因此ax在U中，该条件满足。

加法下封闭：任取U中的两个向量x和y，根据张成空间的定义，x=c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃，y=d₁v₁+d₂v₂+d₃v₃（其中c₁,c₂,c₃,d₁,d₂,d₃为实数）。计算x+y，根据向量加法的交换律和结合律，x+y=(c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃)+(d₁v₁+d₂v₂+d₃v₃)=(c₁+d₁)v₁+(c₂+d₂)v₂+(c₃+d₃)v₃。因为c₁+d₁,c₂+d₂,c₃+d₃都是实数，所以x+y是v₁,v₂,v₃的线性组合，因此x+y在U中，这个条件满足。

可以看出，Rⁿ中任意一组向量的张成空间都是Rⁿ的线性子空间。这个结论很重要，它为我们构造线性子空间提供了一种简单有效的方法——只需要找到一组向量，然后取它们的张成空间，就能得到一个线性子空间。

例4：单个向量的张成空间是子空间
为了更直观地理解张成空间是子空间，我们再看一个简单的例子。在R²中取一个向量v=(1,1)，定义U为v的张成空间，即U={cv|c∈R}。

验证U是否为R²的子空间：

包含零向量：取c=0，则0v=0（零向量），所以0（零向量）在U中，条件满足。

标量乘法下封闭：任取U中的向量x=cv（c为实数），任取标量a，计算ax=a(cv)=(ac)v，ac是实数，所以ax在U中，条件满足。

加法下封闭：任取U中的两个向量x=c₁v和y=c₂v（c₁,c₂为实数），计算x+y=c₁v+c₂v=(c₁+c₂)v，c₁+c₂是实数，所以x+y在U中，条件满足。

显然，这个单个向量的张成空间也满足子空间的所有条件，是R²的线性子空间。从几何角度来看，这个子空间就是R²中经过原点且方向与v=(1,1)相同的一条直线，这也符合我们对二维空间中线性子空间的直观认知。